Projet du toit d'une maison

Problème adapté d'un sujet de baccalauréat

La figure ci-dessous correspond à la maquette d'un projet architectural. Il s'agit d'une maison de forme cubique \(\mathrm{(ABCDEFGH)}\) accolée à un garage de forme cubique \(\mathrm{(BIJKLMNO)}\) où \(\text L\) est le milieu du segment \(\mathrm{[BF]}\) et \(\text K\) est le milieu du segment \(\mathrm{[BC]}\).
Le garage est surmonté d'un toit de forme pyramidale \(\mathrm{(LMNOP)}\) de base carrée \(\mathrm{LMNO}\) et de sommet \(\text P\) positionné sur la façade de la maison.

On munit l'espace du repère orthonormé \(\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)\) avec \(\overrightarrow{\imath} = \dfrac12\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\jmath} = \dfrac12\overrightarrow{\text{AD}}\) et \(\overrightarrow{k} = \dfrac12\overrightarrow{\text{AE}}\).
1. Par lecture graphique, donner les coordonnées des points \(\text H\), \(\text M\) et \(\text N\).

L'architecte place le point \(\text P\) à l’intersection de la droite \(\mathrm{(HM)}\) et du plan \(\mathrm{(BCF)}\). On admet que les coordonnées de \(\text P\) sont \(\left(2~;~\dfrac23~;~\dfrac43\right)\).
2. Calculer la distance \(\mathrm{PM}\).
On admet que la distance \(\mathrm{PN}\) est égale à \(\dfrac{\sqrt{11}}{3}\).
3. Pour satisfaire à des contraintes techniques, le toit ne peut être construit que si l'angle \(\widehat{\text{MPN}}\) ne dépasse pas \(55°\). Le toit pourra-t-il être construit ?